O prazo máximo para solicitar é até 2 de Julho, e sim recebe todas as parcelas anteriores, desde que tenha direito, por exemplo se você foi demitido hoje não receberá as anteriores devido estar trabalhando antes, mas se foi um atraso seu de fazer o cadastro, não.
O que acontece é que entra em um calendário diferenciado, foi o caso de quem solicitou e recebeu a primeira após o dia 30 de abril, ainda receberá a segunda e terceira parcela, porém sem calendário definido, assim como eu esclareci aqui
Lembrando que os Correios estão cadastrando as pessoas que querem solicitar o auxílio presencialmente, e não tem internet.
https://www.correios.com.br/auxilio-emergencial/orientacoes-gerais