A principal diferença entre as duas contas é o fato de a conta de pagamento não ser habilitada para realizar operações de crédito . Como o nome diz, essas contas só podem efetuar movimentações financeiras referentes a transferências e pagamentos.
Nesse caso, como o Nubank já atua com operações de crédito (pelo menos é a promessa do consignado INSS), então ele será definitivamente conta corrente?
Obs: O Nubank também já faz comercialização do crédito pessoal. Então podemos afirmar que não é mais apenas conta de pagamentos? 
Acredito que a mudança só poderá ocorrer quando o Nubank virar um banco de fato, algo do que ele está fugindo a todo custo em função da maior exigência regulatória. Essa é uma reclamação reiterada dos demais bancos.
Quando deixar de ser uma instituição de pagamentos (categoria da fintech para o Banco Central) ele poderá operar conta corrente e se enquadrar como banco múltiplo.
Até lá vamos continuar fingindo que não é banco, afinal não estamos preocupados com rótulos, mas com o produto entregue ao consumidor.
Você está confundindo Conta de Pagamentos com opções de crédito.
Para uma pessoa ter uma opção de crédito (como alguns tipos Cartão de Crédito e empréstimos), a pessoa nem precisa ter uma conta em alguma instituição financeira.
Uma conta corrente na prática, é um estilo de conta onde o cliente bancário poderá realizar empréstimos especiais, ter cheque especial, utilizar limite (caso seja conta especial), pedir cartões de crédito especiais, ter acesso a cheques (dependendo de análise de crédito), usar cheque especial (dependendo de análise de crédito) e ter algumas operações que somente o tipo de conta corrente lhe permite fazer.
Um ótimo exemplo é o Cartão Amazon, um cartão de crédito (Mastercard) gerenciado pelo Bradesco, onde o cliente não precisa ter conta no Bradesco (o pagamento da fatura é feito via boleto).
Bem observado @laetemn 
